Pendapat tiga Mazhab Matematika Modern Dari Abad ke-20

Pendapat tiga mazhab matematika modern dari abad ke-20 - Sahabat-sahabat sekalian kali ini kami akan membagikan postingan mengenai bagaimana pendapat tiga mazhab matematika modern dari abad ke-20, Pasti tidak banyak dari kalian mengetahui siapa-siapa tiga orang tersebut yang menjadi mazhab dalam matematika modern. Oleh karena itu, kami membagikan artikel berikut agar sahabat-sahabat sekalian memiliki wawasan yang luas mengenai matematika, bukan hanya sekedar bisa menyelesaikan soal-soal dalam matematika tetapi, harapan kami juga adalah teman-teman memiliki pengetahuan yang lebih tentang matematika. Silahkan disimak penjelasannya dibawah ini.

PENDAPAT TIGA MAZHAB MATEMATIKA MODERN DARI ABAD KE-20

Dalam abad 20 ini studi mengenai sifat alami dari matematika menumbuhkan 3 mazhab landasan matematika yang terkenal dengan nama logisisme, formalisme ,dan intuitonisme.

1. Mazhab Logisisme

   Pelopor utama mazhab logisisme adalah  Bertrant Russel. Bertrant Russel pada abad  ke 20 mengemukakan batasan matematika yaitu“ the science concerned  with the logical deducation of consequences from the general premisses of all reasoning” (ilmu yang menyangkut deduksi logis tentang akibat-akibat dari pangkalpikir-pangkalpikir umum pada semua penalaran).

   Dalam bukunya berjudul The Principle of Matematics yang pertama terbit dalam 1903, Russel memandang matematika murni semata-mata terdiri dari deduksi-deduksi dengan asas-asas logika dari asas-asas logika. Matematika murni adalah kumpulan dari semua pernyataan dalam bentuk “p mengandung q”. Lambang –lambang p dan q dipakai untuk menyatakan unsur-unsur yang tak diterangkan atau yang dikosongkan dari sesuatu pengertian sehingga dapat diisi dengan pengertian-pengertian apa saja. Bentuk “p mengandung q” berarti bahwa p membawa akibat q. Bentuk ini sama maknanya dengan pernyataan “Kalau p.....maka q” atau “Kalau begini....maka begitu”. Dalam pernyataan-pernyataan yang demikian itu, unsur-unsur p dan q dapat berubah-ubah atau diberi berbagai isi, namun bentuknya tidak akan berubah. Bentuk ini tersusun dari unsur-unsur tetap dari logika. Menurut Russel bentuk dari suatu pernyataan merupakan unsur tetap dalam pernyataan itu yang tidak berubah walaupun setiap unsur lainnya diganti.

   Berdasarkan hal diatas Russel mempelopori suatu aliran baru dalam matematika modern yang kini terkenal sebagai Logicism (Mazhab Logisisme). Baginya logika dan matematika adalah hal yang sama sebagaimana ternyata dari uraiannya yang berikut: “ Matematika dalam logika, berbicara dari sudut sejarah, merupakan penelaah-penalaah yang sama sekali berbeda. Matematika dihubungkan dengan ilmu, logika dengan bahasa Yunani. Tetapi keduanya telah berkembang dalam zaman modern: Logika telah menjadi bersifat lebih matematis dan matematika telah menjadi  lebih logis. Akibatnya ialah bahwa kini menjadi sepenuhnya tak mungkin untuk menarik suatu garis diantara keduanya sesunggunya dua hal itu merupakan satu. Mereka berbeda seperti anak dan orang dewasa:logika merupakan masa muda dari matematika dan matematika merupakan masa dewasa dari logika”

   Pembuktian mengenai kesamaan logika dan matematika itu kemudian dilakukan oleh Russel bersama-sama dengan Whitehead dalam buku berjudul Principia Mathematica. Pembuktian itu pada pokoknya memulai dengan pangkal-pangkal pendapat dari logika dan dengan deduksi tiba pada hasil-hasil yang nyata-nyata termasuk bidang matematika. Konsep –konsep matematika seperti misalnya bilangan-bilangan dapat dinyatakan dengan kata-kata atau dalam rangka unsur-unsur tetap dari logika dan segenap sifat-sifatnya ditunjukkan oleh logika murni. Dengan demikian matematika diperlihatkan tak lain sebagai logika yang telah dikembangkan sangat lanjut atau dengan kata lain, pernyataan-pernyataan matematika adalah pernyataan –pernyataan dalam bidang logika yang menerangkan hubungan –hubungan di antara kalimat-kalimat yang isinya telah diabstraksikan sehingga hanya tertinggal bentuknya dalam bahasa perlambang.

          Selain Russel Whitehead juga memberikan batasan matematika yang berbunyi “Mathematics in its widest signification in the development of all types of formal necessary, deductive reasoning”(Matematika dalam artinya yang terluas adalah pengembangan dari segenap ragam penalaran deduktif formal yang perlu).

   John Kemmey juga mengakui matematika sebagai logika yang telah diperkembangkan sangat lanjut sebagai suatu penelaahan tentang bentuk dari perbincangan-perbicangan. 

   Menurut perumusan Rudolf Carnap dalam suatu simposium tentang landasan-landasan matematika(1931) yang dimaksud dengan logicism adalah dalil bahwa matematika dapat dikembangkan kepda logika sehingga tak lain daripada suatu bagian logika. Selanjutnya dalil itu dapat dipecah menjadi dua bagian yang selengkapnya berbunyi sebgai berikut: 

   • Konsep-konsep matematika dapat diturunkan dari konsep-konsep logika dengan melalui batasan-batasan yang tegas. 
   • Dalil-dalil matematika dapat diturunkan dari aksioma-aksioma logika dengan perantaraan deduksi logis secara murni.

   2. Mazhab Intitusionisme

   Mazhab Intitusionisme menganut pendapat bahwa matematika bersumber pada suatu Urintuition atau ilham dasar tertentu. Dalil mazhab in menyatakan bahwa matematika murni didasarkan pada sebuah ilham dasar tentang kemungkinan untuk menyusun suatu rangkaian bilangan yang tak terhingga. Mazhab Intuisionisme  memandang matematika sebagai sebuah proses kebudayaan dan sejarah maupun sebagai suatu kegiatan hidup yang lebih menyangkut proses-proses dalam pikiran ahli matematika daripada mengenai penyampaian hasil-hasil pikiran itu dalam bentuk lisan atau tertulis .
   Beberapa pendapat tentang landasan Intuisonis dari matematika yaitu
   a.       Arend Heyting menyatakan “matematika intuisionis berniat mengerjakan matematika sebagai suatu fungsi alamiah dari akalnya, sebagai sebuah kegiatan pikiran sangat penting yang bebas. Baginya matematika merupakan suatu hasil dari pikiran-pikiran manusia. Ia memakai bahasa, baik yang alamiah maupun bentukan hanyalah untuk menyampaikan pikiran-pikiran, yaitu mengusahakan agar orang-orang lain atau dirinya sendiri dapat mengikuti ide-ide matematikanya sendiri. Suatu pernyertaan bahasa yang demikian itu bukanlah suatu penggambaran dari matematika, lebih-lebih lagi ini bukanlah matematika itu sendiri”.
   b.      Luitzen Egbertus Jan Brouwer sebagai tokoh pelopor Mazhab Intuisonisme berpendapat bahwa matematika adalah sama dengan bagian eksak dari pemikiran kita. Ketepatan dalil-dalil matematika menurut Brouwer terletak dalam akal manusia.

     3. Mazhab Formulisme

   Mazhab Formulisme menyatakan bahwa ketepatan pemikiran matematika terletak diatas kertas. Mazhab formulisme berkeyakinan bahwa lambang-lambang dan langkah-langkah pengerjaan terhadap simbol itu justru merupakan jantung dari matematika. Perumusannya mengenai matematika menegaskan bahwa matematika murni adalah ilmu tentang rakitan formal dari lambang-lambang. Mazhab formulisme memusatkan penyelidikannya pada rakitan dari berbagai sistem tentang benda-benda atau hubungan-hubungan serta pada lambang-lambang abstrak yang tidak mengandung sesuatu pengertian atau dikosongkan dari isinya. Metode matematika dimaksudkan untuk menunjukkan rakitan dari sistem apapun dengan memakai simbolisme yang tidak mengandung sesuatu pengertian tertentu. Dengan demikian, matematika berhubungan dengan sifat-sifat struktural dari lambang-lambang dan pengolahan terhadap simbol –simbol itu. Lambang-lambang dianggao mewakili semua sasaran yang ditelaah matematika. Bilangan-bilangan misalnya dipandang sebagai sifat-sifat struktural yang palung sederhana dari benda-benda dan selanjutnya bilangan-bilangan itu sendiri menjadi sasaran yang memiliki sifat-sifat baru tersendiri.

   Beberepa pendapat tentang Mazhab Formalisme yaitu: 

   •  Haskell Curry mengemukakan batasan matematika yang berbunyi “Matematika adalah ilmu tentang sistem-sistem normal”
      Hilbert sebagai pelopor Mazhab formalisme sendiri berpendapat “matematika adalah sebuah permainan yang dimainkan menurut aturan-aturan sederhana tertentu dengan tanda-tanda tanpa arti diatas kertas”. Namun pendapat ini kemudian mendapat tanggapan dari beberapa ahli termasuk Curry sendiri.Menurut Curry matematika adalah ilmy bukan sebuah permainan. 
     
     Jika sahabat-sahabat menginginkan dalam bentuk pdf, kalian bisa download filenya di bawah ini:
     
     Download This File  
     Terima kasih atas kunjungannya, semoga apa yang kami berikan mengenai pendapat tiga mazhab matematika modern dari abad ke-20 ini memberikan manfaat bagi kita semua.